RECUPERACIÓN 2º EVALUACIÓN

Recuerdo que el examen de  RECUPERACIÓN DE LA 2º EVALUACIÓN  será el miércoles 10 de abril, después de vacaciones de seman santa.

Las unidades que entran son las siguientes:

Unidad Radicales:  Cálculo de un radical, operaciones con radicales (suma, resta, multiplicación división, raiz de raiz, potencia), racionalicación.

Unidad ecuaciones y sistemas: resolución de ecuacione (1º grado, 2º grado, bicuadradas), sistemas de ecuaciones. Problemas.

Unidad funciones: Representación e interpretación de una función lineal, representacion función cuadrática. Propiedades de funciones.

Para preparar esta recuperación primero repasa la teoría correspondiente a cada unidad, sobre todo entender los pasos para realizar culaquier tipo de operación, luego es el momento de realizar alguno de los ejercicios. Puedes elegir de la fotocopias de cada unidad o de los ejercicios repaso que se entregaron al final de la evaluación.

Aquí os dejo algunos ejercicios de repaso.

EJERCICIOS REPASO 2º EVA

Este lunes en clase resolveremos cualquier duda.

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Propiedades de funciones

Algunas de las propiedades de funciones son las siguientes:

DOMINIO:

Es el conjunto de valores de la variable independiente “x” para los cuales existe variable dependiente “y”.

IMAGEN

Es el valor que toma la variable dependiente “y” cuando sustituimos la variable independiente en la función. Se exprea f(x).

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Una función es creciente cuando para valores de x mayores los valores de y  son mayores.  x1 > x2  ——   f(x1)  >  f(x2)

Una función es decreciente cuando para valores de “x” mayores los valore de “y”  son menores.  x1 > x2  —-  f(x1) < f (x2)

Se expresa el crecimiento y decrecimiento  de una función mediante los valores de x en forma de intervalo numérico.

Para averiguar  el crecimiento y decrecimiento de una función mediante su gráfica la observaremos de izquierda a derecha, es decir miraremos cómo varía la variable dependiente “y” cuando la variable independiente aumenta.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

MÁXIMO: es un punto o coordenada donde la función pasa de cr3cer a decrecer.

MÍNIMO: es un punto o coordenada donde la función pasa de decrecer a crecer.

CONTINUIDAD

Una función es continua en un intervalo si la gráfica no presenta ni interrupciones ni saltos a la hora de dibujarla. Si presenta algún salto se le denominia discontinua.

El valor de la variable independiente “x” donde la función no es continua se llama punto de discontinuidad. Una función puede tener varios puntos de discontinuidad que se representa con los valores de x donde se produce la discontinuidad de la gráfica.

SIMETRÍAS

SIMETRÍA PAR: una función tiene simetría par si es simétrica respecto al eje de ordenadas o eje “y”. Si la doblamos de forma imaginaria la representación respecto al eje de ordenadas la gráfica de la función se superpone.

SIMETRÍA IMPAR: una función tiene simetría impar si es simétrica respecto al origen de coordenadas. Si doblamos de forma imaginaria la representación por la bisectriz del primer y tercer cuadrante la gráfica de la función se superpone.

EJEMPLO

3º. De la siguiente función estudia las siguientes propiedades: a) Dominio  b) Continuidad  c) Crecimiento y decrecimiento d) Simetrías e) f(0) =

 

FUNCIÓN

 

1º. DOMINIO

Para calcular el dominio de una función observamos el eje x y respondemos aquellos intervalos de x donde existe función. Apreciar que para el valor de x=o no hay imagen por tanto no pertenece a la función.
SOLUCIÓN:       ( – ∞ , 0)  U  (0, ∞)

2º. CONTINUIDAD:

Para ver si una función es continua o no observamos si existen algún tipo de salto a la hora de dibujar la gráfica de la función. Si se produce algún salto diremos que es discontinua y hay que especificar en qué valores de x es discontinua o donde se produce el salto a la hora de dibujar la función.
SOLUCIÓN:  Discontinua en x= 0

3º. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Para saber en qué valores de x una función es creciente o decreciente observamos como se comporta la gráfica de la función cuando la dibujamos de izquierda a derecha. De esta forma si la gráfica asciende en los valores de x donde esto ocurre diremos que es creciente. Si la gráfica desciende será decreciente.
IMPORTANTE HAY QUE RESPONDER CON LOS VALORES DE X EN FORMA DE INTERVALO.

SOLUCIÓN: Decreciente: ( – ∞ , 0)  U  (0, ∞)

4º. SIMETRIAS

a) Esta función no tiene simetría par porque no es simétrica respecto al eje de coordenadas. Esto se sabe porque si la doblo respecto al eje de ordenadas las gráficas no se superponen.
b) Esta función tiene simetría IMPAR porque es simétrica respecto al origen de coordenadas. Esto sabe gráficamente porque si doblo la grafica por el eje x y posteriormente por el eje “y” la gráfica se superpone.

5º. Calcular f(0).

Para calcular una imagen gráficamente hay que obtener el valor de y que corresponde al valor de x. Para conocerlo trazamos una línea vertical y apreciamos si en algún lugar corta a la gráfica, donde esto ocurra podemos averiguar el valor de la y.
En nuestra gráfica se observa que no hay ningún valor de y que corresponda con x=o por tanto f(0) = no existe.

 

 

Representación función cuadrática

Una función cuadrática es una función polinómica de 2º grado cuya representación gráfica es una parábola. Esta representadad por la fórmula:

y = a x2   + b x   + c

Para representar dicha función hay que calcular los siguientes coordenadas:

1º . Vértice.

2º. Cortes con el eje de abcisas o eje “x”

3. Corte con el eje de ordenadas o ejer “y”.

Además sabemos su concavidad por el valor del coeficiente “a”

y el eje de simetría que nos divide la parabola en dos partes simétricas.

Una vez que tenemos todos estos datos es cuando podemos dibujarla en el plano cartesiano.

Aquí os dejo una presentación power point explicando todos estos pasos con un ejemplo concreto.

Representación función cuadrática

 

 

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es una función polinómica de 1º grado que viene definida por la siguientes fórmula:

y  =  mx  + n

Donce “m” y “n” son números reales.

Siendo ” m” la pendiente o inclinación que tiene la recta con respecto al eje de abcisas.

“n” es la ordenada en el origen. Nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Su representación gráfica es una línea recta.

PASOS PARA REPRESENTAR UNA FUNCÍN LINEAL.

1º. Despejar el valor de la variabe “y”

2º. Realizar una tabla de valores. Para ello asignamos valores cualesquiera a la variable independiente “x” y calculamos sustituyendo en la función el valor de la variable dependiente  “y”.

3º. Representamos la coordenadas cartesianas en el plano y luego unimos dichas coordenadas con un recta.

EJEMPLO   REPRESENTAR LA FUNCIÓN

   3x  2 y –  4  =  0

represenación

 

 

 

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Una función es una relación de dependencia entre dos magnitudes de tal manera que a un valor de la primera magnitud le corresponde un único valor de la segunda.

Esta relación de dependencia entre dos magnitudes llamada variables independiente (x) y variable dependiente (y) puede representarse de las siguientes formas:

a) Mediante una tabla de valores.

b) Mediante una gráfica.

c) Mediante una fórmula.

Para representar una función gráficamente repasemos los siguientes conceptos:

funciones2

funciones4

funciones1funciones3

ECUACIONES BICUADRADAS

Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado en la que le faltan los monomios elevados a exponente impar.

Para resolverlas seguiremos los siguientes pasos:

1º. Realiazar operaciones y ordenar la ecuación. Posteriormente realizamos un cambio de variable que será   X2 =  t.

2º. Obtenemos una ecuación con la incognita “t” de segundo grado que hay que resolverla. Calcular el valor de “t”

3º. Deshacer el cambio relizado en el paso 1. Así obtenemos el valor de “x”.

EJEMPLO

ecuaciones bicuadradasAquí os dejo algunas ejercicios para practicar:

1.  x4  – 12x2  + 27 = 0

2.   x4  =  –  8x2  + 48

3.    x4  – 2x2   =  3

4.   x4  – 7x2  + 12 = 0

5.   x4  +6x2   =  55

6.   x4  – 2x2  -1  = 0

SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuacione lineales, es decir un conjunto de ecuaciones de primer grado.

Un ejemplo de un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas es el siguiente:

2x  +  3  y  = -5

5x  –  2y    =  2

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar los valores de las incognitas que hacen ciertas las ecuaciones de dicho sistema.

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas se pueden utilizar tres mecanismos que se denominan:

1. REDUCCIÓN

2. SUSTITUCIÓN

3. IGUALACIÓN.

Con estos tres métodos queremos transformar las dos ecuaciones con dos incognitas en una ecuación con una sola. De esta forma podemos resolverla y calcular el valor de una de las incognitas.

MÉTODO DE REDUCCIÓN

1. Consiste en multiplicar una ecuación o las dos por un número para luego sumarlas miembro a miembro y obtener una ecuación con una sola incognita. Resolver dicha ecuación y obtener el valor de una incognita.

2. Sustituir el valor obtenido de dicha incognita en una de las dos ecuaciones, así obtenemos una ecuación con una incognita que resolveremos obteniendo el valor de la segunda incognita.

reducción

METODO DE SUSTITUCIÓN

1. Consiste en despejar una incognita de una de las ecuaciones y posteriormente sustituirla en la otra ecuación. Así se obtiene una ecuación con una sola incognita que se puede resolver.

2. Con el valor obtenido se vuelve a sustituir en el paso donde hemos despejado la primera incognita.

sustitución

METODO DE IGUALACIÓN

1. Se depeja una misma incognita de las dos ecuaciones, a continuación se igualan y obtenemos una ecuación con una sola incognita. Se resuelve conociendo así el valor de una de las incognitas.

2º. Se sustituye el valor obtenido en una de las ecuaciones y se obtiene el valor de la segunda icognita.

igualación